Продолжение. Первая часть статьи: Т.Правдюк. Практика парного трейдинга. Часть 2. Рекурсия..
DEMA, TEMA, MEMA, ADEMA
Самым простым рекурсивным фильтром можно назвать обычную экспоненциальную среднюю линию. Каждое последующее значение ЭСС определяется исходя из предыдущего плюс какая-то часть вновь поступающих данных. В общем виде коэффициент адаптации ЭСС рассчитывается как 2/(х+1), где х - число используемых для расчета периодов. То есть, если для расчета ЭСС используется 9 периодов, то последнее значение линии будет состоять из 1/5 части вновь поступившей котировки и 4/5 частей предыдущего значения ЭСС. Таким образом, достигается высокая чувствительность и быстрая реакция на новые изменения.
Но на трендовых участках подобный экпоненциальный алгоритм все же отстает от эталонной траектории, хоть и гораздо меньше простой средней линии. Для компенсации этого отставания можно использовать коррекцию на предельное отклонение ЭСС от реальных данных. Достаточно рассчитать среднюю ошибку, которую показывает ЭСС и добавлять ее на каждом этапе. Для большей гибкости и придания большего веса свежим данным ошибку также нужно усреднять экспоненциальным способом. В результате мы получим линию, состоящую из ЭСС и средней ошибки - ДЕМА. На следующем графике можно сравнить, насколько более качественно ДЕМА описывает реальную траекторию спреда по зашумленным оценкам:
На графике представлена простейшая модель процесса, выполненная в Маткаде. Синим цветом изображена обычная Ема, коричневым - ДЕМА. Хорошо видно, что на трендовых отрезках ДЕМА отстает гораздо меньше, чем простая ЭСС без коррекции. В верхней части графика расположены формулы для расчета линий и ошибок. В этом случае я использовал различные коэффициенты сглаживания для линий и ошибок.
Следующим этапом может стать еще одна коррекция ДЕМЫ для компенсации отставания. В таком случае мы получим уже дважды скорректированную экспоненциальную линию. Такой вариант называется ТЕМА, так как трижды использует экспоненциальное сглаживание (один раз для линии и два раза для ошибок). В зависимости от выбранных коэффициентов можно сформировать варианты ЭСС различной степени гладкости и чувствительности. Как правило, ТЕМА мгновенно определяет изменение тренда, но и излишне чутко реагирует на ценовые выбросы.
Еще один интересный вариант расчета ЭСС предложил в своей работе «Модифицированная экспоненциальная скользящая средняя» Станислав Булашев. Такая линия использует не одно, а два собственных предыдущих значения с различными весами для расчета по вновь поступившим данным. Целью подобных преобразований является достижение разумного компромисса между мерой гладкости ЭСС и мерой близости этой сглаженной линии к исходному ценовому ряду. Смотрим полученный график:
Хорошо видно, что синяя МЕМА даже при ее оптимальности достаточно сильно отстает на трендах. А красная ТЕМА оказалась излишне чувствительной и пытается реагировать даже на мельчайшие колебания. Позже посмотрим на их реальную торговую эффективность, а пока перейдем к следующему варианту рекурсивной адаптации.
Все рассмотренные выше варианты компенсации ошибок использовали постоянные коэффициенты экспоненциального сглаживания. Основной упор делался или на расчет текущей ошибки, или на учет предыдущих значений. Но можно заставить ЭСС использовать переменный коэффициент в зависимости от характера и направления показанных ошибок. Такой вариант можно назвать АДЕМОЙ - экспоненциальной средней с адаптивным коэффициентом. Для ее расчета необходимо на каждом этапе расчитывать ошибку между реальными измерениями и значением ЭСС с последним коэффициентом. Процедура, аналогичная ДЕМЕ и ТЕМЕ. После чего рассчитать отношение средней ошибки к среднему модулю ошибки. Такой алгоритм позволит четко определить, является ли ошибка симметричной или она накапливается в одном направлении. Симметричная ошибка будет означать фазу боковика и ЭСС будет использовать уменьшающийся коэффициент чувствительности. Если же ошибка копится - это означает наличие тренда, чувствительность ЭСС будет повышаться и отставание будет быстро компенсировано. Смотрим полученный график:
Красным цветом изображена обычная ЕМА, синим - адаптивная АДЕМА. Хорошо видно, как меняется чувствительность АДЕМЫ в зависимости от фазы рынка. Минимальное запаздывание на тренде и достаточная гладкость во флете. Розовым пунктиром представлен переменный коэффициент экспоненциального сглаживания, который используется в данный момент для расчета АДЕМЫ.
Калман
Эталонная траектория спреда, построенная с помощью ХП-фильтра, вполне могла бы служить ориентиром для оценки ошибок ЭСС и корректировки ТЕМЫ или ДЕМЫ. Но сложность в том, что при поступлении новых данных фильтр Ходрика-Прескотта может пересчитывать и перерисовывать несколько предпоследних значений. Следовательно и оценка ошибки также всегда будет плавать. Поэтому для определения "оси вращения" спреда можно использовать радиолокационный фильтр Калмана, который может определять ориентировочную траекторию объекта. В качестве входных данных он использует дискретные координаты, которые были измерены с некоторой погрешностью. Настраиваясь на уровень шума, присущий конкретному ряду, фильтр Калмана позволяет отделить нужный сигнал от помех. В своей книге о парном трейдинге Ganapathy Vidyamurthy предлагает использовать взвешенную среднюю линию с числами Фибонначи вместо полноценного фильтра. Это отчасти оправдано, потому что в общем виде фильтр Калмана выражается достаточно сложной последовательностью матричных исчислений. В самой простой форме этот фильтр можно выразить в виде рекурсионного алгоритма, аналогичного экпоненциальному, где коэффициент сглаживания определяется эмпирическим путем. Задав начальное приближение алгоритма и приблизительно определив его чувствительность, можно понаблюдать, к каким оценкам сойдутся значения фильтра. Смотрим график:
В верхней части графика представлено уравнение, задающее шумовой временной процесс. Сам фильтр Калмана определяется из оценки своего предыдущего значения плюс скорректированная амплитуда последующего движения. Для стабилизации значений фильтру нужно повторить несколько итераций, пока значение коэффициента не сойдется в одной точке.
Следующий алгоритм рекурсивной адаптации используется в, пожалуй, самом популярном платном индикаторе - скользящие средние линии от Юрика. Используя систему сглаживающих коэффициентов и адаптаций, Юрики позволяют очень качественно отслеживать реальную траекторию цены. На сегодняшний день алгоритмы расчета этих средних линий вскрыты и доступны для большинства аналитических программ, от Вэлса и Матлаба до Метатрейдера. Более подробно с их описанием можно ознакомиться в книге, посвященной различным индикаторам от Юрика. Смотрим, как происходит сглаживание реального спреда:
Хорошо видно, что по чувствительности Юрик заметно опережает обычную Ема. В конце статьи я еще вернусь к техническим аспектам тестирования.
John Ehlers
Более простым для понимания, но от этого не менее мощным, является вариант построения рекурсивного фильтра, названный "фильтром с нулевым запаздыванием". Эта разновидность экспоненциального алгоритма, который делает поправку на скорость и силу изменения входных данных. Определяем скорость ряда, как разницу последнего и отстоящего на 4 периода назад значения. После чего корректируем последнее входное значение на скорость и расчитываем классическую ЕМА. Смотрим полученный график:
Алгоритм имеет всего два переменных параметра: коэффициент при скорости и коэффициент экспоненциального сглаживания. Подобный подход позволяет тем сильнее корректировать оценку ЕМА, чем сильнее трендовое движение. В боковике скорость изменения котировок стремится к нулю, поэтому график принимает вид обыкновенной ЭСС.
И, наконец, последний рекурсивный алгоритм по методу Джона Эйлерса - следящий индекс. Более подробно с его интерпретацией можно ознакомиться в книгах Эйлерса, или в статье Сергаева Сергея. По своей сути следящий индекс является разновидностью экспоненциальной средней с переменным коэффициентом сглаживания. Как и в рассмотренной выше АДЕМЕ, коэффициент сглаживания определяется отношением экспоненциальных оценок последних колебаний. Но имеют чуть более сложный механизм расчета:
Хорошо видно, что к алгоритмам АДЕМЫ добавлена еще одна итерация расчета переменной лямбды. Можем посмотреть, как ведет себя индекс Эйлерса на реальном спреде:
Линия достаточно близко к котировкам держится в периоды трендовых движений и позволяет ловить резкие отклонения от нормы.
Теперь можно перейти непосредственно к сравнительному анализу и тестированию рассмотренных рекурсивных алгоритмов. Для этого заранее был создан спред торговой пары фРТС против портфеля фьючерсов. Значение ряда примерно вращалось вокруг нуля, периодически заходя в отрицательную область. Поэтому для тестирования в Вэлслабе был создан синтетический инструмент, равный спред + 10. Это позволило совершать с ним сделки по заранее созданным правилам. Правила и параметры для совершения сделок со спредом оптимизировались по методу Монте-Карло на фильтре Ходрика-Прескотта. То есть была создана эталонная система с наиболее устойчивыми и прибыльными параметрами.
Параметры и коэффициенты самих рекурсивных фильтров оптимизировались по методу наименьших квадратов таким образом, чтобы наиболее полно повторять эталонный ХП-фильтр. То есть линия рекурсивного алгоритма подгонялась под эталон и тестировалась по правилам, оптимизированным на этом же эталоне. Таким образом, ни один из алгоритмов даже теоретически не мог бы превзойти идеальную "ось вращения". Сами условия для открытия позиции могли и не попадать в оптимальную зону для того или иного алгоритма, зато позволили наиболее объективно сравнить различные подходы к выделению истинной траектории спреда. Смотрим сравнительную таблицу:
Значения чистой прибыли и средней прибыли на сделку являются индикативными и оставлены только для сравнения. А остальные показатели отражают вполне реальную картину результативности систем. В первой строке расположены показатели эталонной системы, давшей просто превосходные результаты. Средняя продолжительность сделки составила 3,5 часа и далее отличалась не очень сильно. Хуже всех себя проявили экспоненциальные средние с переменным коэффициентом сглаживания АДЕМА (adapt) и двойной коррекцией ошибки ТЕМА. Худший профит-фактор оказался у ТЕМЫ и ДЕМЫ. А вот фильтр с нулевым запаздыванием, фильтр Калмана и Юрик оказались среди лидеров. Наибольшую же прибыль показала модифицированная МЕМА. В нижней части таблицы расположены показатели линии, построенной по линейной регрессии - достаточно хорошая прибыль при сравнительно низком профит-факторе. Таким образом, можно сделать следующий вывод: рекурсионные алгоритмы на основе адаптации к скорости предпочтительнее, чем рекурсии с коррекцией ошибок.
В этой статье я рассказал о двух важных практических аспектах высокочастотного парного трейдинга. Для полноценного статистического арбитража необходимо не только найти коинтегрированные пары, но и разработать алгоритм для определения чрезмерного расхождения спреда. Торговые пары могут состоять из одного или нескольких инструментов, или даже линейных синтетиков попарно коррелированных акций. Для определения коинтегрированности можно использовать как абсолютные цены, так и относительные процентные приращения. Использование относительных приращений позволяет оптимизировать портфель фьючерсов по Бете, стационарности или при помощи линейной регрессии. Полученные оценки являются квазистационарными, а потому требуют периодической переоптимизации и корректировки. Для выделения истинной траектории спреда и определения экстремальных отклонений можно использовать фильтры на основе рекурсивных алгоритмов. Наиболее выгодно использовать рекурсии, учитывающие скорость и направление последних колебаний.
Автор статьи: Тарас Правдюк, специально для Русского Трейдера.
(c) www.russian-trader.ru
Аннотация:
Для полноценного статистического арбитража необходимо не только найти коинтегрированные пары, но и разработать алгоритм для определения чрезмерного расхождения спреда. Для выделения истинной траектории спреда и определения экстремальных отклонений можно использовать фильтры на основе рекурсивных алгоритмов.
DEMA, TEMA, MEMA, ADEMA
Самым простым рекурсивным фильтром можно назвать обычную экспоненциальную среднюю линию. Каждое последующее значение ЭСС определяется исходя из предыдущего плюс какая-то часть вновь поступающих данных. В общем виде коэффициент адаптации ЭСС рассчитывается как 2/(х+1), где х - число используемых для расчета периодов. То есть, если для расчета ЭСС используется 9 периодов, то последнее значение линии будет состоять из 1/5 части вновь поступившей котировки и 4/5 частей предыдущего значения ЭСС. Таким образом, достигается высокая чувствительность и быстрая реакция на новые изменения.
Но на трендовых участках подобный экпоненциальный алгоритм все же отстает от эталонной траектории, хоть и гораздо меньше простой средней линии. Для компенсации этого отставания можно использовать коррекцию на предельное отклонение ЭСС от реальных данных. Достаточно рассчитать среднюю ошибку, которую показывает ЭСС и добавлять ее на каждом этапе. Для большей гибкости и придания большего веса свежим данным ошибку также нужно усреднять экспоненциальным способом. В результате мы получим линию, состоящую из ЭСС и средней ошибки - ДЕМА. На следующем графике можно сравнить, насколько более качественно ДЕМА описывает реальную траекторию спреда по зашумленным оценкам:
На графике представлена простейшая модель процесса, выполненная в Маткаде. Синим цветом изображена обычная Ема, коричневым - ДЕМА. Хорошо видно, что на трендовых отрезках ДЕМА отстает гораздо меньше, чем простая ЭСС без коррекции. В верхней части графика расположены формулы для расчета линий и ошибок. В этом случае я использовал различные коэффициенты сглаживания для линий и ошибок.
Следующим этапом может стать еще одна коррекция ДЕМЫ для компенсации отставания. В таком случае мы получим уже дважды скорректированную экспоненциальную линию. Такой вариант называется ТЕМА, так как трижды использует экспоненциальное сглаживание (один раз для линии и два раза для ошибок). В зависимости от выбранных коэффициентов можно сформировать варианты ЭСС различной степени гладкости и чувствительности. Как правило, ТЕМА мгновенно определяет изменение тренда, но и излишне чутко реагирует на ценовые выбросы.
Еще один интересный вариант расчета ЭСС предложил в своей работе «Модифицированная экспоненциальная скользящая средняя» Станислав Булашев. Такая линия использует не одно, а два собственных предыдущих значения с различными весами для расчета по вновь поступившим данным. Целью подобных преобразований является достижение разумного компромисса между мерой гладкости ЭСС и мерой близости этой сглаженной линии к исходному ценовому ряду. Смотрим полученный график:
Хорошо видно, что синяя МЕМА даже при ее оптимальности достаточно сильно отстает на трендах. А красная ТЕМА оказалась излишне чувствительной и пытается реагировать даже на мельчайшие колебания. Позже посмотрим на их реальную торговую эффективность, а пока перейдем к следующему варианту рекурсивной адаптации.
Все рассмотренные выше варианты компенсации ошибок использовали постоянные коэффициенты экспоненциального сглаживания. Основной упор делался или на расчет текущей ошибки, или на учет предыдущих значений. Но можно заставить ЭСС использовать переменный коэффициент в зависимости от характера и направления показанных ошибок. Такой вариант можно назвать АДЕМОЙ - экспоненциальной средней с адаптивным коэффициентом. Для ее расчета необходимо на каждом этапе расчитывать ошибку между реальными измерениями и значением ЭСС с последним коэффициентом. Процедура, аналогичная ДЕМЕ и ТЕМЕ. После чего рассчитать отношение средней ошибки к среднему модулю ошибки. Такой алгоритм позволит четко определить, является ли ошибка симметричной или она накапливается в одном направлении. Симметричная ошибка будет означать фазу боковика и ЭСС будет использовать уменьшающийся коэффициент чувствительности. Если же ошибка копится - это означает наличие тренда, чувствительность ЭСС будет повышаться и отставание будет быстро компенсировано. Смотрим полученный график:
Красным цветом изображена обычная ЕМА, синим - адаптивная АДЕМА. Хорошо видно, как меняется чувствительность АДЕМЫ в зависимости от фазы рынка. Минимальное запаздывание на тренде и достаточная гладкость во флете. Розовым пунктиром представлен переменный коэффициент экспоненциального сглаживания, который используется в данный момент для расчета АДЕМЫ.
Калман
Эталонная траектория спреда, построенная с помощью ХП-фильтра, вполне могла бы служить ориентиром для оценки ошибок ЭСС и корректировки ТЕМЫ или ДЕМЫ. Но сложность в том, что при поступлении новых данных фильтр Ходрика-Прескотта может пересчитывать и перерисовывать несколько предпоследних значений. Следовательно и оценка ошибки также всегда будет плавать. Поэтому для определения "оси вращения" спреда можно использовать радиолокационный фильтр Калмана, который может определять ориентировочную траекторию объекта. В качестве входных данных он использует дискретные координаты, которые были измерены с некоторой погрешностью. Настраиваясь на уровень шума, присущий конкретному ряду, фильтр Калмана позволяет отделить нужный сигнал от помех. В своей книге о парном трейдинге Ganapathy Vidyamurthy предлагает использовать взвешенную среднюю линию с числами Фибонначи вместо полноценного фильтра. Это отчасти оправдано, потому что в общем виде фильтр Калмана выражается достаточно сложной последовательностью матричных исчислений. В самой простой форме этот фильтр можно выразить в виде рекурсионного алгоритма, аналогичного экпоненциальному, где коэффициент сглаживания определяется эмпирическим путем. Задав начальное приближение алгоритма и приблизительно определив его чувствительность, можно понаблюдать, к каким оценкам сойдутся значения фильтра. Смотрим график:
В верхней части графика представлено уравнение, задающее шумовой временной процесс. Сам фильтр Калмана определяется из оценки своего предыдущего значения плюс скорректированная амплитуда последующего движения. Для стабилизации значений фильтру нужно повторить несколько итераций, пока значение коэффициента не сойдется в одной точке.
Следующий алгоритм рекурсивной адаптации используется в, пожалуй, самом популярном платном индикаторе - скользящие средние линии от Юрика. Используя систему сглаживающих коэффициентов и адаптаций, Юрики позволяют очень качественно отслеживать реальную траекторию цены. На сегодняшний день алгоритмы расчета этих средних линий вскрыты и доступны для большинства аналитических программ, от Вэлса и Матлаба до Метатрейдера. Более подробно с их описанием можно ознакомиться в книге, посвященной различным индикаторам от Юрика. Смотрим, как происходит сглаживание реального спреда:
Хорошо видно, что по чувствительности Юрик заметно опережает обычную Ема. В конце статьи я еще вернусь к техническим аспектам тестирования.
John Ehlers
Более простым для понимания, но от этого не менее мощным, является вариант построения рекурсивного фильтра, названный "фильтром с нулевым запаздыванием". Эта разновидность экспоненциального алгоритма, который делает поправку на скорость и силу изменения входных данных. Определяем скорость ряда, как разницу последнего и отстоящего на 4 периода назад значения. После чего корректируем последнее входное значение на скорость и расчитываем классическую ЕМА. Смотрим полученный график:
Алгоритм имеет всего два переменных параметра: коэффициент при скорости и коэффициент экспоненциального сглаживания. Подобный подход позволяет тем сильнее корректировать оценку ЕМА, чем сильнее трендовое движение. В боковике скорость изменения котировок стремится к нулю, поэтому график принимает вид обыкновенной ЭСС.
И, наконец, последний рекурсивный алгоритм по методу Джона Эйлерса - следящий индекс. Более подробно с его интерпретацией можно ознакомиться в книгах Эйлерса, или в статье Сергаева Сергея. По своей сути следящий индекс является разновидностью экспоненциальной средней с переменным коэффициентом сглаживания. Как и в рассмотренной выше АДЕМЕ, коэффициент сглаживания определяется отношением экспоненциальных оценок последних колебаний. Но имеют чуть более сложный механизм расчета:
Хорошо видно, что к алгоритмам АДЕМЫ добавлена еще одна итерация расчета переменной лямбды. Можем посмотреть, как ведет себя индекс Эйлерса на реальном спреде:
Линия достаточно близко к котировкам держится в периоды трендовых движений и позволяет ловить резкие отклонения от нормы.
Теперь можно перейти непосредственно к сравнительному анализу и тестированию рассмотренных рекурсивных алгоритмов. Для этого заранее был создан спред торговой пары фРТС против портфеля фьючерсов. Значение ряда примерно вращалось вокруг нуля, периодически заходя в отрицательную область. Поэтому для тестирования в Вэлслабе был создан синтетический инструмент, равный спред + 10. Это позволило совершать с ним сделки по заранее созданным правилам. Правила и параметры для совершения сделок со спредом оптимизировались по методу Монте-Карло на фильтре Ходрика-Прескотта. То есть была создана эталонная система с наиболее устойчивыми и прибыльными параметрами.
Параметры и коэффициенты самих рекурсивных фильтров оптимизировались по методу наименьших квадратов таким образом, чтобы наиболее полно повторять эталонный ХП-фильтр. То есть линия рекурсивного алгоритма подгонялась под эталон и тестировалась по правилам, оптимизированным на этом же эталоне. Таким образом, ни один из алгоритмов даже теоретически не мог бы превзойти идеальную "ось вращения". Сами условия для открытия позиции могли и не попадать в оптимальную зону для того или иного алгоритма, зато позволили наиболее объективно сравнить различные подходы к выделению истинной траектории спреда. Смотрим сравнительную таблицу:
Значения чистой прибыли и средней прибыли на сделку являются индикативными и оставлены только для сравнения. А остальные показатели отражают вполне реальную картину результативности систем. В первой строке расположены показатели эталонной системы, давшей просто превосходные результаты. Средняя продолжительность сделки составила 3,5 часа и далее отличалась не очень сильно. Хуже всех себя проявили экспоненциальные средние с переменным коэффициентом сглаживания АДЕМА (adapt) и двойной коррекцией ошибки ТЕМА. Худший профит-фактор оказался у ТЕМЫ и ДЕМЫ. А вот фильтр с нулевым запаздыванием, фильтр Калмана и Юрик оказались среди лидеров. Наибольшую же прибыль показала модифицированная МЕМА. В нижней части таблицы расположены показатели линии, построенной по линейной регрессии - достаточно хорошая прибыль при сравнительно низком профит-факторе. Таким образом, можно сделать следующий вывод: рекурсионные алгоритмы на основе адаптации к скорости предпочтительнее, чем рекурсии с коррекцией ошибок.
В этой статье я рассказал о двух важных практических аспектах высокочастотного парного трейдинга. Для полноценного статистического арбитража необходимо не только найти коинтегрированные пары, но и разработать алгоритм для определения чрезмерного расхождения спреда. Торговые пары могут состоять из одного или нескольких инструментов, или даже линейных синтетиков попарно коррелированных акций. Для определения коинтегрированности можно использовать как абсолютные цены, так и относительные процентные приращения. Использование относительных приращений позволяет оптимизировать портфель фьючерсов по Бете, стационарности или при помощи линейной регрессии. Полученные оценки являются квазистационарными, а потому требуют периодической переоптимизации и корректировки. Для выделения истинной траектории спреда и определения экстремальных отклонений можно использовать фильтры на основе рекурсивных алгоритмов. Наиболее выгодно использовать рекурсии, учитывающие скорость и направление последних колебаний.
Автор статьи: Тарас Правдюк, специально для Русского Трейдера.
(c) www.russian-trader.ru
Аннотация:
Для полноценного статистического арбитража необходимо не только найти коинтегрированные пары, но и разработать алгоритм для определения чрезмерного расхождения спреда. Для выделения истинной траектории спреда и определения экстремальных отклонений можно использовать фильтры на основе рекурсивных алгоритмов.