Вопрос к знатокам математики и т.п.

[MikeCurious]

Стоит такая задача - нужно построить "правильную" функцию расчета цены опционов. Или в другой формулировке - апроксимировать по фактическим данным функцию от 4 переменных (цена фьюча, страйк, общая волатильность, время до экспирации). Но сложность в том, что значение общей волатильности нужно подбирать для каждого набора данных свой. Набор данных - это цены всех опционов в один момент времени. Посоветуйте какие-нибудь линки для изучения, как можно апроксимировать функции с 1 недостающим параметром.
Как то получается две связанные задачи - апроксимации функции и подбор значения аргумента при известном значении функции. Не могу в голове увязать их в едино.


Наверное трудно понять что хочу, сам с трудом понимаю опишу как должен выглядеть результат:
даются на вход набор "текущая ситуация" по 5-7 страйкам из цена опциона+цена фьюча+страйк+время до экспирации. Компьютер по ранее рассчитанной функции GetVol выдает общую волатильность. Одну на весь набор.

С другой стороны по историческим данным нужно создать функцию GetPrice, которая считает по данным (цена фьюча, страйк, время до экспирации, общая волатильность=GetVol) выдает цену максимально приближенную к исторической.

Какая-то рекурсивная апроксимация двух функции связанных между собой. Кто что посоветует для решения этой задачи?

 

[Anatoly Utkin]

А цель какая? Создание функции, которая максимально похожа на текущее распределение цен опционов по страйкам и имеет параметры--цену базового актива, время до экспирации, некий параметр GetVol? И затем по этой функции расчитывать "справедливую цену опциона" при изменении цены базового актива?

 

[MikeCurious]

А цель какая? Создание функции, которая максимально похожа на текущее распределение цен опционов по страйкам и имеет параметры--цену базового актива, время до экспирации, некий параметр GetVol? И затем по этой функции расчитывать "справедливую цену опциона" при изменении цены базового актива?

GetVol это функция, дающую некую общую волатильность для всех страйков сразу. А в целом да, цель расчитывать справедливую цену по полученной модели. Просто стандартная модель Блека-Шоулза не канает, т.к. есть устойчивая формация улыбки - из-за нее движение БА влияет на волатильность. По умолчанию считается что это независимые параметры, а на самом деле нет.

 

[Anatoly Utkin]

То есть вы хотите придумать некоторую универсальную функцию от трех переменных: ЦБА, время экспирации, страйк. У этой функции есть один параметр--GetVol, расчитываемый по текущему распределению фактических цен по страйкам. По этой функции планируется расчитывать справедливую цену опциона для любых значений переменных. То есть справедливая цена опциона зависит от:
1) Страйк
2) ЦБА
3) Время до экспирации
4) Некий мгновенный параметр GetVol, сам являющийся некоторой функцией текущего распределения цен по страйкам, ЦБА и времени до экспирации.
Я правильно понимаю?

 

[MikeCurious]

То есть вы хотите придумать некоторую универсальную функцию от трех переменных: ЦБА, время экспирации, страйк. У этой функции есть один параметр--GetVol, расчитываемый по текущему распределению фактических цен по страйкам. По этой функции планируется расчитывать справедливую цену опциона для любых значений переменных. То есть справедливая цена опциона зависит от:
1) Страйк
2) ЦБА
3) Время до экспирации
4) Некий мгновенный параметр GetVol, сам являющийся некоторой функцией текущего распределения цен по страйкам, ЦБА и времени до экспирации.
Я правильно понимаю?

Да!
Сейчас правда подумал, мб легче будет для поиска основной функции, параметр GetVol заранее рассчитывать по какому-то алгоритму, например = вола центрального страйка. При таком раскладе получается стандартная задача апроксимации. Хотя хотелось бы все же решить в общем виде.

 

[Anatoly Utkin]

Мне кажется, что основная сложность этой задачи заключена в определении модели ценообразования. Вам нужна универсальная функция, работающая для любых ЦБА, страйков, времени и волатильности. Для достижения такой универсальности вы должны придумать функцию с физическим смыслом. Простая аппроксимация, например полиномом или еще чем, методом наименьших квадратов или другим, ничего не даст. Скорее всего, параметры аппроксимации будут чрезвычайно сильно меняться при изменении текущей ситуации, что сведет ценность такой аппроксимации к нулю из-за отсутствия универсальности.

Я не особо силен в опционных моделях, мне известны пара хороших моделей--биномиальная и Блэка-Шоулса. В основе и той и другой лежат вполне конкретные и неплохие физические модели--модели случайного блуждания ЦБА. Поскольку вас не устраивает Блэк-Шоулс из-за улыбки волатильности (что правильно, модель не описывает улыбку), то вам нужна более сложная модель. Я бы предложил поискать обобщения модели Блэка-Шоулса на случаи трендовых рынков. Думаю, такие модели будут описывать улыбку волатильности, ибо улыбка связана с истеричностью, трендовостью рынков. Я бы поискал что-то типа обобщения модели Блэка-Шоулса на случай персистентных рынков. В нашей литературе найти такое маловероятно, а в импортных хороших журналах по финансовой математике думаю можно.

 

[MikeCurious]

Мне кажется, что основная сложность этой задачи заключена в определении модели ценообразования. Вам нужна универсальная функция, работающая для любых ЦБА, страйков, времени и волатильности. Для достижения такой универсальности вы должны придумать функцию с физическим смыслом. Простая аппроксимация, например полиномом или еще чем, методом наименьших квадратов или другим, ничего не даст. Скорее всего, параметры аппроксимации будут чрезвычайно сильно меняться при изменении текущей ситуации, что сведет ценность такой аппроксимации к нулю из-за отсутствия универсальности.

Я не особо силен в опционных моделях, мне известны пара хороших моделей--биномиальная и Блэка-Шоулса. В основе и той и другой лежат вполне конкретные и неплохие физические модели--модели случайного блуждания ЦБА. Поскольку вас не устраивает Блэк-Шоулс из-за улыбки волатильности (что правильно, модель не описывает улыбку), то вам нужна более сложная модель. Я бы предложил поискать обобщения модели Блэка-Шоулса на случаи трендовых рынков. Думаю, такие модели будут описывать улыбку волатильности, ибо улыбка связана с истеричностью, трендовостью рынков. Я бы поискал что-то типа обобщения модели Блэка-Шоулса на случай персистентных рынков. В нашей литературе найти такое маловероятно, а в импортных хороших журналах по финансовой математике думаю можно.

Спасибо за совет, интересная информация.
На счет обобщения модели БШ - возможен вариант использования "надстройки". Т.е. построить функцию не цены, а волатильности конкретного страйка, допустим, от заданной волатильности центрального, цена БА (больше как масштабный фактор) и времени экспирации. Т.е. апроксимация улыбки напрямую. Недостаток, который я тут вижу - прибыль измеряется в пунктах/рублях, а не в пунктах волатильности. Одно дело выиграть 1% волы на центральном страйке в начале месяца. И совсем другое 1% в последний день, да еще на крайнем страйке. Т.е. функция ошибки (в обычном случае среднеквадратичное отклонение) должна быть нелинейной и вообще хз какой.